Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx是R上的奇函数，且f（1）=2，f（2）=10，
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在R上是增函数；
（3）若关于x的不等式f（x²-4）+f（kx+2k）＜0在x∈（0，1）上恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由“函数f（x）是奇函数”求或找到a，b，c的关系，再结合f（1）=2，f（2）=10求解．
（2）要求用定义，则先在给定的区间任取两个变量，且界定大小，再作差变形看符号．
（3）利用奇函数将“不等式f（x²-4）+f（kx+2k）＜0，在x∈（0，1）上恒成立”转化为“f（x²-4）＜f（-kx-2k）
在x∈（0，1）上恒成立”再由增函数的定义转化为“x²+kx+2k-4＜0在（0，1）上恒成立”求解．

解答：解：（1）∵函数f（x）是奇函数
∴f（-x）=-f（x）即-ax³+bx²-cx=-ax³-bx²-cx
∴2bx²=0对于任意x都成立
即b=0
∵f(1)=2，f(2)=10  ∴

a+c=2 8a+2c=10

解得a=c=1
∴函数的解析式是f（x）=x³+x    5分
（2）证明：设x₁，x₂是R上的任意两个不相等的实数，且x₁＜x₂，
则△y=f（x₂）-f（x₁）=x₂³+x₂-x₁³-x₁=（x₂-x₁）（x₂²+x₁x₂+x₁²）+（x₂-x₁）
=(x2-x1)(

x

2 2

+

x

1

x2+

x

2 1

+1)=(x2-x1)[(x2+

x   1

2

)2+

3 x 2 1

4

+1]
∵x₂-x₁＞0，(x2+

x   1

2

)2+

3 x 2 1

4

+1＞0∴△y＞0
∴函数f（x）在R上是增函数 （10分）
（3）∵f（x²-4）+f（kx+2k）＜0
∴f（x²-4）＜-f（kx+2k）=f（-kx-2k）
又因为f（x）是增函数，即x²-4＜-kx-2k
∴x²+kx+2k-4＜0在（0，1）上恒成立．（12分）
法（一）令g（x）=x²+kx+2k-4，x∈（0，1）
则

g(0)=2k-4≤0 g(1)=3k-3≤0

  解得k≤1
∴k的取值范围是（-∞，1]14分
法（二）上式可化为k（x+2）＜4-x²
∵x∈（0，1）即x+2＞0∴k＜

4-x2

x+2

=2-x
令U（x）=2-x，x∈（0，1）
∵U（x）=2-x在（0，1）上是减函数
∴U（x）＜1即k≤1．（14分）

点评：本题主要考查应用奇偶性来求函数解析式，应用单调性定义来证明函数的单调性，还考查了综合运用奇偶性和单调性来解不等式的能力．