Question

已知椭圆

x2

25

+

y2

16

=1，定点A(

3

2

，2)，F₁、F₂分别是椭圆的左右焦点，点P在椭圆上，则|PA|+|PF₁|的最小值为

 

．

Answer 1

分析：要求|PA|+|PF₁|的最小值，先利用椭圆的定义得到|PF₁|=10-|PF₂|，故只要求|PA|-|PF₂|最小值，再利用三角形中边的关系得到它的最小值即可．

解答：解：如图，由于|PF₁|=10-|PF₂|，
因而|PA|+|PF₁|=10+|PA|-|PF₂|，
又因为||PA|-|PF2||≤|AF2|=

5

2

?-

5

2

≤|PA|-|PF2|≤

5

2

，
当点P在图中P₂处时，|
PA|-|PF₂|=-

5

2

，
所以|PA|+|PF₁|的最小值为10-

5

2

=

15

2

．
故答案为：

15

2

．

点评：本题主要考查了椭圆的应用以及椭圆中线段的最值问题，求解时要充分利用椭圆的定义可使得解答简洁．