Question

已知函数f（x）=lg（1+x）+lg（1-x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）判断f（x）在（0，1）内的单调性并证明．

Answer 1

分析：（1）由函数的解析式可得

1+x＞0 1-x＞0

，由此求得函数的定义域．
（2）由于函数的定义域关于原点对称，且f（-x）=f（x），可得函数为偶函数．
（3）由于函数f（x）=lg（1-x²），当 0＜x＜1时，令t=1-x²，利用导数求得函数t在（0，1）内的单调性，再结合复合函数的单调性可得f（x）在（0，1）内的单调性．

解答：解：（1）由函数的解析式可得

1+x＞0 1-x＞0

，解得-1＜x＜1，故函数的定义域为（-1，1）．
（2）由于函数的定义域关于原点对称，且f（-x）=lg（1-x）+lg（1+x）=f（x），
故函数为偶函数．
（3）由于函数f（x）=lg（1+x）+lg（1-x）=lg（1-x²），
可得函数f（x）在（0，1）内的单调递减．
证明：当 0＜x＜1时，令t=1-x²，则t′=-2x＜0，故函数t在（0，1）内的单调递减，
再结合复合函数的单调性可得f（x）在（0，1）内的单调递减．

点评：本题主要考查求函数的定义域、判断函数的奇偶性，利用导数证明函数的单调性，复合函数的单调性，
属于中档题．