题目内容

已知数列{a_n}的前n项和记为S_n，且a₁=2，a_n+1=S_n+2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若 $数学公式$ ，求数列{c_n}的前n项和T_n．

解：（Ⅰ）∵a_n+1=S_n+2，∴n≥2时，a_n=S_n-1+2
两式相减可得a_n+1-a_n=S_n-S_n-1=a_n，∴a_n+1=2a_n（n≥2）
∵a₁=2，∴a₂=S₁+2=4，∴n≥2时，a_n=4•2^n-2=2ⁿ，
∵a₁=2，也符合上式，∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ；
（Ⅱ） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴T_n=1× $\text{[math]}$ +2× $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ①
∴ $\text{[math]}$ T_n=1× $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ②
①-②： $\text{[math]}$ T_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
∴T_n=2- $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）利用数列递推式，再写一式，两式相减，可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法，可求数列{c_n}的前n项和．
点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，正确运用求和公式是关键．