Question

（2012•开封一模）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C₁：x²+y²=1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（2cosθ-sinθ）=6．
（1）将曲线C₁上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的

3

、2倍后得到曲线C₂，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C₂的参数方程；
（2）在曲线C₂上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．

Answer 1

分析：（1）直接写出直线l的直角坐标方程，将曲线C₁上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的

3

、2倍后得到曲线C₂的方程，然后写出曲线C₂的参数方程；
（2）设出曲线C₂上一点P的坐标，利用点P到直线l的距离公式，求出距离表达式，利用三角变换求出最大值．

解答：解：（1）由题意可知：直线l的直角坐标方程为：2x-y-6=0，
因为曲线C₂的直角坐标方程为：(

x

3

)2+(

y

2

)2=1．
∴曲线C₂的参数方程为：

x= 3 cosθ y=2sinθ

（θ为参数）．
（2）设P的坐标（

3

cosθ ，2sinθ），则点P到直线l的距离为：
d=

|2 3 cosθ-2sinθ-6|

5

=

|4sin(60°-θ)-6|

5

，
∴当sin（60°-θ）=-1时，点P（-

3

2

，1），
此时dmax=

|4+6|

5

=2

5

．

点评：本题是中档题，考查直线的参数方程，直线与圆锥曲线的位置关系，点到直线的距离的应用，考查计算能力，转化思想．