题目内容
已知函数f(x)=
，数列{an}满足a1=1，an+1=f（an）（n∈N*）．
（1）求证：数列{
}是等差数列；
（2）若数列{bn}前n项和为Sn=2n-1，记Tn=
+
+…+
，求Tn．
| x |
| 2x+1 |
（1）求证：数列{
| 1 |
| an |
（2）若数列{bn}前n项和为Sn=2n-1，记Tn=
| b1 |
| a1 |
| b2 |
| a2 |
| bn |
| an |
分析：（1）根据an+1=f（an）可得an-1=
，两边取倒数进行整理变形，符合等差数列的定义，从而得到结论；
（II）通根据（I）先求出{an}的通项，然后通过Sn=2n-1求出bn的通项公式，代入Tn=
+
+…+
，利用错位相消法求出所求即可．
| an |
| 2an+1 |
（II）通根据（I）先求出{an}的通项，然后通过Sn=2n-1求出bn的通项公式，代入Tn=
| b1 |
| a1 |
| b2 |
| a2 |
| bn |
| an |
解答：解：（1）由已知得：an-1=
，
∴
=
=2+
∴
-
=2，∴数列{
}是等差数列
（2）由（1）得
=1+(n-1)2=2n-1，∴an=
由Sn=2n-1，∴bn=2n-18分∴Tn=
+
+…+
=1+3×2+5×22+…+(2n-1)×2n-1
∴2Tn=1×2+3×22+5×23+…+（2n-1）×2n
∴Tn=3-（3-2n）2n
| an |
| 2an+1 |
∴
| 1 |
| an-1 |
| 2an+1 |
| an |
| 1 |
| an |
∴
| 1 |
| an+1 |
| 1 |
| an |
| 1 |
| an |
（2）由（1）得
| 1 |
| an |
| 1 |
| 2n-1 |
由Sn=2n-1，∴bn=2n-18分∴Tn=
| b1 |
| a1 |
| b2 |
| a2 |
| bn |
| an |
∴2Tn=1×2+3×22+5×23+…+（2n-1）×2n
|
∴Tn=3-（3-2n）2n
点评：本题主要考查了数列的求和以及等差数列的判断和错位相消法，属于中档题，同时考查了计算能力．
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