Question

（2012•贵州模拟）数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=2，S_n+1=3S_n+2（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）设bn=

an

SnSn+1

(n∈N*)，数列{b_n}的前n项和为T_n，证明

1

8

≤Tn＜

1

6

．

Answer 1

分析：（I）由S_n+1=3S_n+2可得，当n＞1时，S_n=3S_n-1+2两 式相减可得，a_n+1=3a_n，结合等比数列的通项公式可求
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求S_n，代入可求b_n，然后利用裂项求和即可求解T_n，可证明

解答：解：（I）由S_n+1=3S_n+2可得，当n＞1时，S_n=3S_n-1+2
两 式相减可得，a_n+1=3a_n（3分）
∵a₁=2，
∴数列{a_n}是以2为首项，以3为公比的等比数列
∴an=2×3n-1（6分）
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）得Sn=

2(3n-1)

3-1

=3n-1…（8分）
故bn=

2×3n-1

(3n-1)(3n+1-1)

=

1

3

(

1

3n-1

-

1

3n+1-1

)
故T_n=b₁+b₂+…+b_n=bn=

1

3

(

1

2

-

1

3n+1-1

)…（10分）
又n∈N*，

1

3n+1-1

＞0，故Tn=

1

3

(

1

2

-

1

3n+1-1

)＜

1

6

由b_n＞0知当n=1时，T1=

1

8

最小，即Tn≥

1

8

故

1

8

≤Tn＜

1

6

(n∈N*)成立．                                                 …（12分）

点评：本题主要考查了数列的递推公式在数列的通项公式的求解中的应用，等比数列的通项公式及裂项求和方法的综合应用．