Question

设函数f（x）的定义域为R，若存在与x无关的正常数M，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为有界泛函．在函数
①f（x）=-5x，
②f（x）=x²，
③f（x）=sin²x，
④f（x）=(

1

2

)x，
⑤f（x）=xcosx
中，属于有界泛函的有

①⑤

（填上所有正确的序号）．

Answer 1

分析：利用有界泛函的定义，确定M的值，若存在，即是有界泛函，否则不是有界泛函．

解答：解：①|f（x）|=5|x|，故存在M=5，对|f（x）|≤M|x|一切实数x均成立，故是有界泛函；
②|f（x）|=|x²|≤M|x|，所以|x|≤M，故不存在这样的M对一切实数x均成立，故不是有界泛函；
③|f（x）|=|sin²x|≤1，又|f（x）|≤M|x|，故不存在这样的M对一切实数x均成立，故不是有界泛函；
④|f（x）|=|f(

1

2

)x|≥0，又|f（x）|≤M|x|，故不存在这样的M对一切实数x均成立，故不是有界泛函；
⑤|f（x）|=|xcosx|=|cosx||x|≤|x|，故存在M=1，对|f（x）|≤M|x|一切实数x均成立，故是有界泛函；
故答案为①⑤

点评：本题主要考查了函数的概念及其构成要素，以及函数恒成立问题等知识，属于中档题．