Question

已知函数f(x)=

lnx-1

lnx+1

(x＞e)，若f（m）+f（n）=1，则f（m•n）的最小值为（　　）

• A、

  2

  7

• B、

  5

  7

• C、

  2

  5

• D、

  3

  5

Answer 1

分析：先根据函数f（x）的解析式和f（m）+f（n）=1用lnn表示出lnm，然后代入到f（mn）的表达式，最后由基本不等式可得答案．

解答：解：∵f（x）=

lnx-1

lnx+1

=1-

2

lnx+1

∴f（m）+f（n）=2-

2

lnm+1

-

2

lnn+1

=1∴

2

lnm+1

+

2

lnn+1

=1∴lnm+1=

2(lnn+1)

lnn-1

∴f（mn）=1-

2

ln(mn)+1

=1-

2

lnm+lnn+1

=1-

2

2(lnn+1) lnn-1 +lnn

=1-

2

2+ 4 lnn-1 +lnn

=1-

2

3+ 4 lnn-1 +lnn-1

≥1-

2

3+2 4 lnn-1 ×(lnn-1)

=

5

7

（当且仅当

4

lnn-1

=lnn-1，即n=m=e³时等号取到）
故选B．

点评：本题主要考查基本不等式的应用，属中档题，使用基本不等式时注意等号成立的条件．