Question

在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知点A（

6

5

，0），P（cosα，sinα）．
（Ⅰ）若cosα=

5

6

，求证：

PA

⊥

PO

；
（Ⅱ）若|

PA

|=|

PO

|，求sin(

π

2

+2α)的值．

Answer 1

分析：（ I）由题意可得向量

PA

，

PO

的坐标，由cosa=

5

6

可得

PA

•

PO

=0，可得向量垂直；（ II）把|

PA

|=|

PO

|平方可得cosα的方程，解方程可得cosα，由诱导公式和二倍角公式可得sin(

π

2

+2α)2cos²α-1，代入数值化简可得．

解答：解：（ I）由题意可得

PA

=(

6

5

-cosα，-sinα)，

PO

=(-cosα，-sinα)，
∴

PA

•

PO

=（

6

5

-cosα）（-cosα）+（-sinα）²=-

6

5

cosα+cos2α+sin2α=-

6

5

cosα+1，
∵cosa=

5

6

，∴

PA

•

PO

=0，
∴

PA

⊥

PO

（ II）∵|

PA

|=|

PO

|，
∴|

PA

|2=|

PO

|2，
代入数据可得(cosα-

6

5

)2+sin2α=cos²α+sin²α，解得cosa=

3

5

，
由诱导公式可得sin(

π

2

+2α)=cos2α=2cos²α-1=-

7

25

点评：本题考查平面向量数量积的运算，涉及三角函数的化简运算．