题目内容

己知椭圆C： $数学公式$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $数学公式$ ，A₁、A₂是椭圆的左右顶点，B₁、B₂是椭圆的上下顶点，四边形A₁B₁A₂B₂的面积为16 $数学公式$ ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）圆M过A₁、B₁两点．当圆心M与原点O的距离最小时，求圆M的方程．

解：（1）依题意有： $\text{[math]}$ ①…（2分）
四边形A₁B₁A₂B₂是以椭圆C的四顶点为顶点的菱形
可得：S_A1B1A2B2= $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ ②…（4分）
由①、②联解，可得： $\text{[math]}$
所以椭圆C的方程为： $\text{[math]}$ …（6分）
（2）依题意得 $\text{[math]}$
可得A₁B₁的中点为（-2， $\text{[math]}$ ），A₁B₁的斜率k= $\text{[math]}$
∴A₁B₁的垂直平分线l的斜率为k'= $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，
可得A₁B₁的垂直平分线l的方程为：y- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ （x+2），化简得 $\text{[math]}$ …③（8分）
根据圆M过A₁、B₁两点，可得圆心M在l上，当圆心M与原点O的距离最小时，OM⊥l
∴OM的方程为 $\text{[math]}$ …④（10分）
联立③、④得 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ …（12分）
由此可得 $\text{[math]}$ ，
因此，此时的圆M方程为： $\text{[math]}$ …（14分）
分析：（1）根据椭圆的离心率和菱形A₁B₁A₂B₂的面积，建立关于a、b、c的方程组，解之可得 $\text{[math]}$ ，从而得到椭圆C的方程；
（2）根据题意，过A₁、B₁两点的圆的圆心M在A₁B₁的垂直平分线l上，且当OM⊥l时圆心M与原点O的距离最小．由此得到直线OM的方程与直线l方程联解得到M（- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），再由MA₁长得到圆M的半径，得到此时圆M的方程．
点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的方程并且求圆心M与原点距离最小时的圆M的方程，着重了椭圆的标准方程和简单几何性质、圆的标准方程等知识，属于中档题．