Question

设函数f（x）=

a

3

x³+

b-1

2

x²+x+5（a，b∈R，a＞0）的定义域为R．当x=x₁时取得极大值，当x=x₂时取得极小值．
（I）若x₁＜2＜x₂＜4，求证：函数g（x）=ax²+bx+1在区间（-∞，-1]上是单调减函数；
（II）若|x₁|＜2，|x₁-x₂|=4，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：法一  （Ⅰ）先求导数：f'（x）=ax²+（b-1）x+1．根据f（x）当x=x₁时取得极大值，当x=x₂时取得极小值，由题知，f'（x）=0的两个根x₁，x₂满足x₁＜2＜x₂＜4，利用根的分布得出关于a，b的不等关系，结合二次函数的性质即可得到答案；
（Ⅱ）利用方程ax²+（b-1）x+1=0的两个根x₁，x₂（x₁＜x₂），根据根与系数的关系结合又|x₁-x₂|=4，得a，b的范围即可．
法二  （Ⅰ）先求导数f'（x）=ax²+（b-1）x+1．由题知，f'（x）=0的两个根x₁，x₂满足x₁＜2＜x₂＜4，利用二次方程根的分布得出a，b的不等式组，得-

b

2a

＞-1．最后结合二次函数的性质得出结论．
（Ⅱ）因为x₁•x₂=

1

a

＞0，所以x₁，x₂同号得出两根的范围：0＜x₁＜2，则x₂＞4．结合根的分布得出实数b的取值范围．

解答：解：法一  f'（x）=ax²+（b-1）x+1．
因为f（x）当x=x₁时取得极大值，当x=x₂时取得极小值．
所以f'（x）=ax²+（b-1）x+1=0的两根为x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（Ⅰ）由题知，f'（x）=0的两个根x₁，x₂满足x₁＜2＜x₂＜4，a＞0
当且仅当

f′(2)=4a+2b-1＜0，① f′(4)=16a+4b-3＞0，②

所以16a+4b＞3＞3（4a+2b），得-

b

2a

＞-1．
因为函数g（x）=ax²+bx+1在区间（-∞，-

b

2a

）上是单调减函数，
所以函数g（x）=ax²+bx+1在区间（-∞，-1]上是单调减函数；
（Ⅱ）因为方程ax²+（b-1）x+1=0的两个根x₁，x₂（x₁＜x₂），且x₁•x₂=

1

a

＞0，所以x₁，x₂同号．
又|x₁-x₂|=

(b-1)2-4a

a

=4，所以（b-1）²=16a²+4a．③
若-2＜x₁＜0，则-2＜x₁＜x₂＜0，则|x₁-x₂|＜2，与|x₁-x₂|=4矛盾，
所以0＜x₁＜2，则

f′(2)=4a+2b-1＜0 1-b＞0

所以4a+1＜2（1-b），
结合③得（4a+1）²＜4（1-b）²=4（16a²+4a），解得a＞

1

12

或-a＜

1

4

．结合a＞0，得a＞

1

12

．
所以2（1-b）＞4a+1＞

4

3

，得b＜

1

3

．
所以实数b的取值范围是（-∞，

1

3

）．
法二  f'（x）=ax²+（b-1）x+1．
（Ⅰ）由题知，f'（x）=0的两个根x₁，x₂满足x₁＜2＜x₂＜4，
当且仅当

f′(2)=4a+2b-1＜0，① f′(4)=16a+4b-3＞0，②

由①得，-b＞2a-

1

2

．
因为a＞0，所以-

b

2a

＞1-

1

4a

．③
由

-8a-4b+2＞0 16a+4b-3＞0

结合③，得-

b

2a

＞-1．
因为函数g（x）=ax²+bx+1在区间（-∞，-

b

2a

）上是单调减函数，
所以函数g（x）=ax²+bx+1在区间（-∞，-1）上是单调减函数；
（Ⅱ）因为x₁•x₂=

1

a

＞0，所以x₁，x₂同号．
由|x₁|＜2，得-2＜x₁＜2．
若-2＜x₁＜0，则-2＜x₁＜x₂＜0，则|x₁-x₂|＜2，与|x₁-x₂|=4矛盾，
所以0＜x₁＜2，则x₂＞4．
所以

f′(2)=4a+2b-1＜0，④ f′(4)=16a+4b-3＜0，⑤

得b＜

1

2

．
又因为|x₁-x₂|=

(b-1)2-4a

a

=4，所以（b-1）²=16a²+4a．
根据④⑤得

(b-1)2＜(1-2b)2+1-2b (b-1)2＜( 3 4 -b)2+ 3 4 -b

得

b＜ 1 3 或b＞1 b＜ 5 8

结合b＜

1

2

，得b＜

1

3

；
所以实数b的取值范围是（-∞，

1

3

）．

点评：本题是中档题，考查利用导数研究函数的单调性、函数在某点取得极值的条件，考查计算能力．