Question

已知函数f(x)=sin2x+2

3

sin2x+1-

3

．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[

π

6

，

π

2

]时，若f（x）≥log₂t恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数f（x）的最小正周期，根据正弦函数的单调性即可确定出f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出f（x）的最小值，根据f（x）≥log₂t恒成立，得到log₂t小于等于f（x）的最小值，即可确定出t的范围．

解答：解：（I）f（x）=sin2x-

3

cos2x+1=2sin（2x-

π

3

）+1，
∵ω=2，
∴函数f（x）最小正周期是T=π；
当2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2π+

π

2

，k∈Z，
即kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z，
函数f（x）单调递增区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z；
（II）∵x∈[

π

6

，

π

2

]，
∴2x-

π

3

∈[0，

2π

3

]，
∴f（x）=2sin（2x-

π

3

）+1的最小值为1，
由f（x）≥log₂t恒成立，得log₂t≤1=log₂2恒成立，
∴0＜t≤2，
即t的取值范围为（0，2]．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，函数恒成立问题，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．