Question

已知函数，且f（4）=3
（1）求m的值；
（2）证明f（x）的奇偶性；
（3）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）据f（4）=3求出待定系数m的值．
（2）先看函数的定义域是否关于原点对称，再看f（x）与f（-x）的关系，依据奇偶性的定义进行判断．
（3）在（0，+∞）上任取x₁＞x₂＞0，计算对应的函数值之差，把此差变形为因式之积的形式，然后判断符号，比较f（x₁）与
f（x₂）的大小，得出结论．
解答：解：（1）∵f（4）=3，∴，∴m=1．（2分）
（2）因为，定义域为{x|x≠0}，关于原点成对称区间．（3分）
又，（5分）
所以f（x）是奇函数．（6分）
（3）设x₁＞x₂＞0，则（9分）
因为x₁＞x₂＞0，所以x₁-x₂＞0，，（11分）
所以f（x₁）＞f（x₂），因此f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．
点评：本题考查用待定系数法求函数解析式，以及判断函数单调性、奇偶性的方法．