Question

已知数列{a_n}的前三项与数列{b_n}的前三项对应相同，且a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=8n对任意的n∈N^*都成立，数列{b_n+1-b_n}是等差数列.

(1)求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；

(2)问是否存在k∈N^*，使得b_k-a_k∈(0,1)？请说明理由.

Answer 1

解：(1)已知a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=8n(n∈N^*)                                 ①

n≥2时，a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-2a_n-1=8(n-1)(n∈N^*)                                     ②

①-②得，2^n-1a_n=8，求得a_n=2^4-n，

在①中令n=1，可得a₁=8=2^4-1，

a_n=2^4-n(n∈N^*).                                                               

由题意b₁=8，b₂=4，b₃=2，∴b₂-b₁=-4，b₃-b₂=-2，

∴数列{b_n+1-b_n}的公差为-2-(-4)=2,

∴b_n+1-b_n=-4+(n-1)×2=2n-6，

b_n=b₁+(b₂-b₁)+(b₃-b₂)+…+(b_n-b_n-1)

=8+(-4)+(-2)+…+(2n-8)=n²-7n+14(n∈N^*).                                        

(2)b_k-a_k=k²-7k+14-2^4-k，

当k≥4时，f(k)=(k)²+-2^4-k单调递增，且f(4)=1，

∴k≥4时，f(k)=k²-7k+14-2^4-k≥1.                                              

又f(1)=f(2)=f(3)=0，

∴不存在k∈N^*，使得b_k-a_k∈(0,1).