Question

已知数列{a_n}单调递增，且各项非负，对于正整数K，若任意的i，j(1≤i≤j≤K)，a_j－a_i仍是{a_n}中的项，则称数列{a_n}为“K项可减数列”．

(1)已知数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，且数列{b_n－2}是“K项可减数列”，试确定K的最大值．

(2)求证：若数列{a_n}是“K项可减数列”，则其前n项的和．

(3)已知{a_n}是各项非负的递增数列，写出⑵的逆命题，判断该逆命题的真假，并说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设，则，易得 　　，即数列一定是“2项可减数列”，但因为 　　，所以的最大值为2． 　　(2)因为数列是“项可减数列”，所以必定是数列中的项，而是递增数列，故，所以必有 　　，，则 　　， 　　所以，即． 　　又由定义知，数列也是“项可减数列”， 　　所以 　　(3)(2)的逆命题为：已知数列为各项非负的递增数列，若其前项的和满足，则该数列一定是“项可减数列”，该逆命题为真命题． 　　理由如下：因为≤≤，所以当≥时，，两式相减，得，即≥　() 　　则当≥3时，有() 　　由()－()，得≥，又，所以，故数列是首项为0的递增等差数列． 　　设公差为，则，对于任意的≤≤≤，，因为≤≤，所以仍是中的项，故数列是“项可减数列”．