Question

【题目】如图所示，抛物线的焦点为.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）过的两条直线分别与抛物线交于点，与，（点，在轴的上方）.

①若，求直线的斜率；

②设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求证：直线过定点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根据焦点可确定p,即可写出方程（2）①设，，利用向量关系得，代入抛物线方程，可得,，结合F(1,0)即可求出斜率. ②根据可得 ，当存在时，设直线：，联立抛物线方程，得，根据可得，代入直线方程即可求出定点，当当不存在时，检验过定点即可.

（1）因为，所以p=2,

所以方程为

（2）法一：，，

得

代入得，则，,

法二:由 ①

得，代入①求，

而，得

法三:利用抛物线的定义转化为到准线的距离，得

（3），得

，同理 ①

代入①得

,又有

而

当存在时，设直线：

得：

得

过定点

当不存在时，检验得过定点。

综上所述，直线过定点。