Question

5．正三棱柱ABC一A₁B₁C₁的底面边长为2，D为AB上一点，如图，建立空间直角坐标系．
（1）若$\overrightarrow{{A}_{1}D}$是平面B₁DC的法向量，即$\overrightarrow{{A}_{1}D}$⊥平面B₁DC，求正三棱柱的侧棱长．
（2）若D为AB的中点，且$\overrightarrow{{A}_{1}D}$⊥$\overrightarrow{{CB}_{1}}$，求正三棱柱的侧棱长．
（3）在（2）情况下，在侧棱CC₁上求一点N，使得cos（$\overrightarrow{{DB}_{1}}$，$\overrightarrow{AN}$）=$\frac{3}{\sqrt{34}}$．

Answer 1

分析 （1）设出D（a，b），侧棱长为z，用a，b，z表示出$\overrightarrow{{A}_{1}D}$，$\overrightarrow{{B}_{1}C}$，$\overrightarrow{CD}$的坐标，借助线面垂直得出关于a，b，z的方程，解出z；
（2）设出侧棱长为z，则用在表示出$\overrightarrow{{A}_{1}D}$，$\overrightarrow{C{B}_{1}}$，根据向量垂直得出方程，解出z；
（3）设N（0，1，a），则用a表示出$\overrightarrow{D{B}_{1}}$，$\overrightarrow{AN}$，计算出夹角的余弦，列出方程解出a．

解答 解：（1）设正棱柱的侧棱长为z，D（a，b，0），则A₁（0，-1，z），B₁（$\sqrt{3}$，0，z），C（0，1，0），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（a，b+1，-z），$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-$\sqrt{3}$，1，-z），$\overrightarrow{CD}$=（a，b-1，0）．
∵$\overrightarrow{{A}_{1}D}$⊥平面B₁DC，
∴$\overrightarrow{{A}_{1}D}$⊥$\overrightarrow{{B}_{1}C}$，$\overrightarrow{{A}_{1}D}⊥\overrightarrow{CD}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}a+b+1+{z}^{2}=0}\\{{a}^{2}+{b}^{2}-1=0}\end{array}\right.$，∴z²=$\sqrt{3}a-b-1$．
∵D在AB上，∴$\frac{\sqrt{3}}{3}a-b-1=0$，
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=-$\frac{1}{2}$，∴z²=1，即z=1．
∴正三棱柱的侧棱长是1．
（2）设正棱柱的侧棱长为z，则A₁（0，-1，z），B₁（$\sqrt{3}$，0，z），C（0，1，0），D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0）．
∴$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，-z），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（$\sqrt{3}$，-1，z）．
∵$\overrightarrow{{A}_{1}D}$⊥$\overrightarrow{{CB}_{1}}$，∴$\overrightarrow{{A}_{1}D}$•$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=0，即$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$-z²=0，解得z=1．
∴正三棱柱的侧棱长是1．
（3）设N（0，1，a），∵A（0，-1，0），B₁（$\sqrt{3}$，0，1），D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0）．
∴$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），$\overrightarrow{AN}$=（0，2，a），
∴$\overrightarrow{D{B}_{1}}$•$\overrightarrow{AN}$=1+a，|$\overrightarrow{D{B}_{1}}$|=$\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}+1}$=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{AN}$|=$\sqrt{4+{a}^{2}}$．
∴cos＜$\overrightarrow{{DB}_{1}}$，$\overrightarrow{AN}$＞=$\frac{\overrightarrow{D{B}_{1}}•\overrightarrow{AN}}{|\overrightarrow{D{B}_{1}}|•|\overrightarrow{AN}|}$=$\frac{1+a}{\sqrt{2}•\sqrt{4+{a}^{2}}}$=$\frac{3}{\sqrt{34}}$．
解得a=$\frac{1}{2}$．
∴N为C₁C的中点．

点评 本题考查了平面向量在立体几何中的应用，常使用设坐标法求解．