Question

已知数列{a_n}是等差数列，S_n为其前n项和，且满足S₂=4，S₅=25，数列{b_n}满足b_n=

1

an-an+1

，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若对任意的n∈N^*，不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ恒成立，求实数λ的取值范围；
（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设数列的首项为a₁，公差为d，利用S₂=4，S₅=25，建立方程组，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）分类讨论，分离参数，利用基本不等式及数列的单调性，即可求实数λ的取值范围；
（3）利用等比数列的性质，建立方程，求出m的值，从而可求n的值．

解答：解：（1）设数列的首项为a₁，公差为d，则
∵S₂=4，S₅=25，
∴

2a1+d=4 5a1+10d=25

∴a₁=1，d=2
∴a_n=2n-1；
（2）①当n为偶数时，要使不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ恒成立，即需不等式λ＜2n+

8

n

+17恒成立．
∵2n+

8

n

≥8，等号在n=2时取得． 
∴此时λ需满足λ＜25．
②当n为奇数时，要使不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ恒成立，
即需不等式λ＜2n-

8

n

-15恒成立．
∵2n-

8

n

是随n的增大而增大，∴n=1时，2n-

8

n

取得最小值-6．
∴此时λ需满足λ＜-21．
综合①、②可得λ的取值范围是λ＜-21．
（3）T1=

1

3

，Tm=

m

2m+1

，Tn=

n

2n+1

，
若T₁，T_m，T_n成等比数列，则(

m

2m+1

)2=

1

3

•

n

2n+1

，即

m2

4m2+4m+1

=

n

6n+3

．…12分
∴

3

n

=

-2m2+4m+1

m2

＞0，
即-2m²+4m+1＞0，------------------------14分
∴1-

6

2

＜m＜1+

6

2

．
又m∈N，且m＞1，所以m=2，此时n=12．
因此，当且仅当m=2，n=12时，数列{T_n}中的T₁，T_m，T_n成等比数列．--------16分

点评：本题考查数列的通项，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．