Question

已知函数f（x）=2sinxcosx+2bcos²x，且f（0）=8，f（

π

6

）=12．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的值．

Answer 1

分析：（1）直接利用条件 f（0）=8，f（

π

6

）=12，求出a 和b的值．
（2）由（1）知：f（x）=8

3

sinxcosx+8cos²x，再利用二倍角公式，两角和的正弦公式，可得f（x）=
 8sin（2x+

π

6

）+4，由此可得f（x）的最大值等于12，此时 2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，（k∈Z），从而求得x的值．

解答：解：（1）∵f（0）=8，f（

π

6

）=12，∴2b=8，2a•

1

2

•

3

2

+2b×

3

4

=12，
故 a=4

3

，b=4  …（6分） 
（2）由（1）知：f（x）=8

3

sinxcosx+8cos²x  
=4

3

sin2x+4（1+cos2x） …（8分）
=8（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）+4 …（9分）
=8sin（2x+

π

6

）+4 …（10分）
∴f（x）的最大值等于12，此时 2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，（k∈Z）…（11分）
即 x=kπ+

π

6

 （k∈Z）时，f（x）有最大值等于12． …（12分）

点评：本题考查二倍角公式，两角和的正弦公式，正弦函数的值域，化简f（x）的解析式为 8sin（2x+

π

6

）+4，是解题的关键．