Question

若函数f（x）对任意实数x，y满足：f（x+y）=f（x）+f（y），且f（2）=0，则下列结论正确的是________．
①f（x）是周期函数；②f（x）是奇函数；③f（x）关于点（1，0）对称；④f（x）关于直线x=1对称．

Answer 1

解：根据题意，依次分析4个命题：
对于①，在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y=2，有f（x+2）=f（x）+f（2），又由f（2）=0，则f（x+2）=f（x），可得f（x）是周期函数，故①正确；
对于②，在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令x=y=0，有f（0）=f（0）+f（0），可得f（0）=0，再令y=-x，有f（0）=f（x）+f（-x），即f（x）=-f（-x），可得f（x）是奇函数，故②正确；
对于③，由①可得f（x+2）=f（x），又由②可得f（x）=-f（-x），则有f（x+2）=-f（-x），即f（x）关于点（1，0）对称，③正确；
对于④，由③可得，f（x）关于点（1，0）对称，则f（x）不会关于直线x=1对称，④错误；
故答案为①②③．
分析：根据题意，依次分析4个命题：对于①，令y=2，有f（x+2）=f（x）+f（2），又由f（2）=0，则f（x+2）=f（x），由函数的周期性的定义可得①正确；对于②，令x=y=0，有f（0）=f（0）+f（0），可得f（0）=0，再令y=-x，有f（0）=f（x）+f（-x），即f（x）=-f（-x），由奇函数的定义可得②正确；对于③，由①可得f（x+2）=f（x），又由②可得f（x）=-f（-x），则有f（x+2）=-f（-x），由函数的对称性可得③正确；对于④，由③可得④错误；综合可得答案．
点评：本题考查抽象函数的运用，涉及函数周期性、奇偶性、对称性的判断，解此类题目，一般用特殊值法．