Question

已知定义在R上的函数f（x）满足（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，若c＜b＜a，f（a）f（b）f（c）＜0，则实数d是函数f（x）的一个零点，给出下列判断：
①d＜c②c＜d＜b③b＜d＜a④d＞a
其中可能成立的个数为

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

B
分析：由（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，可判断f（x）的单调性，从而可知f（a），f（b），f（c）的大小关系，由f（a）f（b）f（c）＜0可判断f（a），f（b），f（c）的符号情况，由零点存在定理分情况讨论即可得到答案．
解答：由（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，知f（x）在R上单调递减，
又c＜b＜a，所以f（c）＞f（b）＞f（a），
因为f（a）f（b）f（c）＜0，所以有f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）（1），或f（a）＜f（b）＜f（c）＜0（2），
由零点存在定理知：当满足（1）时，b＜d＜a；当满足（2）时，d＜c，
故可能成立的命题为：①③，
故选B．
点评：本题考查抽象函数的单调性、零点存在定理，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．