Question

已知y=f（x）是定义在R上的函数，对于任意的x∈R，f（-x）+f（x）=0，且当x＞0时，f（x）=-x²+2x+1．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）画出函数y=f（x）的图象，并指出f（x）的单调区间及在每个区间上的增减性；
（3）若函数f（x）在区间[-1，a-2]上单调递增，试确定a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）可判断y=f（x）是定义在R上的奇函数，f（0）=0；当x＜0时，-x＞0，依题意，可求得此时f（x）=x²+2x-1，从而可知y=f（x）的解析式；
（2）作出函数y=f（x）的图象，从而可指出f（x）的单调区间及在每个区间上的增减性；
（3）依题意，要使f（x）在区间[-1，a-2]上单调递增，只需

a-2＞-1 a-2≤1

，从而可求实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵y=f（x）是定义在R上的函数，f（-x）+f（x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴当x＜0时，-x＞0，
∴f（x）=-f（-x）=-[-（-x）²+2（-x）+1]=x²+2x-1，
∵f（0）=0，
∴f（x）=

-x2+2x+1(x≥0) 0                  (x=0) x2+2x-1  (x＜0)

．
（2）作图如下：

由图知，f（x）在（-∞，-1]和[1，+∞）上是减函数，f（x）在[-1，1]上是增函数．
（3）由图知，f（x）在[-1，1]上单调递增，要使f（x）在区间[-1，a-2]上单调递增，
只需

a-2＞-1 a-2≤1

，解得1＜a≤3．

点评：本题考查函数单调性的性质，考查作图与识图能力，考查分析、推理与运算能力．