题目内容
已知函数f（x）=sin（ωx+| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
（1）求ω的最小正值及此时函数y=f（x）的表达式；
（2）将（1）中所得函数y=f（x）的图象结果怎样的变换可得y=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（3）在（1）的前提下，设α∈[
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
①求tanα的值；
②求cos2（α-β）-1的值．
分析：（1）将x用
代替，求出正弦为1的所有角，求出其中的最小值．
（2）据图象的平移规律：左加右减；伸缩变换的规律：横坐标变为自变量x的乘的数的倒数；若三角函数符号前乘的数为A，则纵坐标变为原来的A倍．
（3）利用三角函数的平方关系求出α+
，β+
的余弦，利用商数关系求出α+
的正切；由于α-β=(α+
)-(β+
)
利用两角和的正弦公式求出sin（α-β），再利用二倍角公式求出值．
| π |
| 6 |
（2）据图象的平移规律：左加右减；伸缩变换的规律：横坐标变为自变量x的乘的数的倒数；若三角函数符号前乘的数为A，则纵坐标变为原来的A倍．
（3）利用三角函数的平方关系求出α+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
利用两角和的正弦公式求出sin（α-β），再利用二倍角公式求出值．
解答：解：（1）因为f(
)=1，所以sin(ω•
+
)=1，
于是ω•
+
=
+2kπ(k∈Z)，即ω=1+12k（k∈Z），
故当k=0时，ω取得最小正值1．
此时f(x)=sin(x+
)．
（2）先将y=sin(x+
)的图象向右平移
个单位得y=sinx的图象；
再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得y=sin
x的图象；
最后将所得图象上各点的纵坐标缩小到原来的
倍（横坐标不变）得y=
sin
x的图象．
（3）因为f（α）=
，f(β)=-
，
所以sin(α+
)=
，sin(β+
)=-
．
因为α∈[
，
]，β∈(-
，-
)，
所以α+
∈[
，π]，β+
∈(-
，0)．
于是cos(α+
)=-
，cos(β+
)=
．
①因为tan(α+
)=
=-
，
所以tanα=tan[(α+
)-
]=
=
=
=
．
②因为sin(α-β)=sin[(α+
)-(β+
)]=sin(α+
)cos(β+
)-cos(α+
)sin(β+
)=
•
-(-
)•(-
)=-
，
所以cos2（α-β）-1=-2sin2（α-β）=-2×(-
)2=-
．
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
于是ω•
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
故当k=0时，ω取得最小正值1．
此时f(x)=sin(x+
| π |
| 3 |
（2）先将y=sin(x+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得y=sin
| 1 |
| 2 |
最后将所得图象上各点的纵坐标缩小到原来的
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（3）因为f（α）=
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
所以sin(α+
| π |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
| π |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
因为α∈[
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
| π |
| 3 |
所以α+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
于是cos(α+
| π |
| 3 |
| 4 |
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| π |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
①因为tan(α+
| π |
| 3 |
sin(α+
| ||
cos(α+
|
| 3 |
| 4 |
所以tanα=tan[(α+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
tan(α+
| ||||
1+tan(α+
|
-
| ||||
1+(-
|
4
| ||
3
|
48+25
| ||
| 11 |
②因为sin(α-β)=sin[(α+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 7 |
| 25 |
所以cos2（α-β）-1=-2sin2（α-β）=-2×(-
| 7 |
| 25 |
| 98 |
| 625 |
点评：本题考查三角函数的图象变换规律，三角函数的同角三角函数的公式，三角函数的二倍角公式．
将未知的角用已知的角表示，从而将未知的三角函数用已知的三角函数表示．
将未知的角用已知的角表示，从而将未知的三角函数用已知的三角函数表示．
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