Question

如图，l₁、l₂是通过某市开发区中心O的南北和东西走向的两条道路，连接M、N两地的铁路是一段抛物线弧，它所在的抛物线关于直线l₁对称．M到l₁、l₂的距离分别是2 km、4 km，N到l₁、l₂的距离分别是3 km、9 km.

(1)建立适当的坐标系，求抛物线弧MN的方程；

(2)该市拟在点O的正北方向建设一座工厂，考虑到环境问题，要求厂址到点O的距离大于5 km而不超过8 km，并且铁路上任意一点到工厂的距离不能小于 km，求该厂离点O的最近距离．(注：工厂视为一个点)

Answer 1

解：

(1)分别以l₂、l₁为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则M(2,4)，N(3,9)．

设MN所在抛物线的方程为y＝ax²＋c，则有解得

故所求抛物线弧MN的方程为

y＝x²(2≤x≤3)．

(2)设抛物线弧上任意一点P(x，x²)(2≤x≤3)，

厂址为点A(0，t)(5＜t≤8)．

∴t的最小值为.

所以，该厂距离点O的最近距离为6.25 km.