Question

【题目】如图，四棱柱的底面是菱形， ， ， ．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）若，直线上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 或.

【解析】试题分析：（Ⅰ）用几何法证明，先证得平面，再证平面平面.

（Ⅱ）由条件可得两两相互垂直，故可建立坐标系，转化为代数运算求解。

试题解析：（Ⅰ）证明：

因为， 为的中点，

则.

又因为四边形是菱形，

所以，

因为，

所以平面，

因为平面，

所以平面平面.

（Ⅱ）在菱形中，由，可得，

由，可得.

在三角形中，由，可得.

故得两两相互垂直.

以为原点， 方向为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.

则， ， ， ，

由，可得， ，

设， ，

所以.

设平面的法向量为，

因为， ，

所以由得.

设直线与平面所成角为，由题意得

解得 或.

当时， ; 当时，

所以或.