已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的上顶点为(0.2).且离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．(Ⅰ)求椭圆C的方程,(Ⅱ)证明:过圆x2+y2=r2上一点Q(x0.y0)的切线方程为x0x+y0y=r2,(Ⅲ)过椭圆C上一点P向圆x2+y2=1引两条切线.切点分别为A.B.当直线AB分别与x轴.y轴� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的上顶点为（0，2），且离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）证明：过圆x²+y²=r²上一点Q（x₀，y₀）的切线方程为x₀x+y₀y=r²；
（Ⅲ）过椭圆C上一点P向圆x²+y²=1引两条切线，切点分别为A，B，当直线AB分别与x轴、y轴交于M，N两点时，求|MN|的最小值．

分析（Ⅰ）由题意可得b=2，再由离心率公式可得a=4，b=2，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）讨论切线的斜率存在和不存在，由直线的点斜式方程即可得到切线方程；
（Ⅲ）设点P坐标为（x_P，y_P），求得过A，B的切线方程，可得切点弦AB方程，再由两点的距离公式和基本不等式即可得到最小值．

解答解：（Ⅰ）由题意可得b=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又c²=a²-b²，
即有a=4，b=2，
则椭圆C方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）证明：当切线的斜率k存在时，设切线方程为y-y₀=k（x-x₀），
又因为k=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$．
故切线方程为y-y₀=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$（x-x₀），即有x₀x+y₀y=r²．
当k不存在时，切点坐标为（±r，0），对应切线方程为x=±r，符合x₀x+y₀y=r²，
综上，切线方程为x₀x+y₀y=r²；
（Ⅲ）设点P坐标为（x_P，y_P），PA，PB是圆x²+y²=1的切线，切点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
过点A的圆的切线为x₁x+y₁y=1，过点B的圆的切线为x₂x+y₂y=1．
由两切线都过P点，x₁x_P+y₁y_P=1，x₂x_P+y₂y_P=1．
则切点弦AB的方程为x_Px+y_Py=1，由题知x_Py_P≠0，
即有M（$\frac{1}{{x}_{P}}$，0），N（0，$\frac{1}{{y}_{p}}$），
|MN|²=$\frac{1}{{{x}_{P}}^{2}}$+$\frac{1}{{{y}_{P}}^{2}}$=（$\frac{1}{{{x}_{P}}^{2}}$+$\frac{1}{{{y}_{P}}^{2}}$）•（$\frac{{{x}_{P}}^{2}}{16}$+$\frac{{{y}_{P}}^{2}}{4}$）
=$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{16}$•$\frac{{{x}_{P}}^{2}}{{{y}_{P}}^{2}}$+$\frac{1}{4}$•$\frac{{{y}_{P}}^{2}}{{{x}_{P}}^{2}}$≥$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{4}$+2$\sqrt{\frac{1}{64}•\frac{{{x}_{P}}^{2}}{{{y}_{P}}^{2}}•\frac{{{y}_{P}}^{2}}{{{x}_{P}}^{2}}}$=$\frac{9}{16}$，
当且仅当x_P²=$\frac{16}{3}$，y_P²=$\frac{8}{3}$时取等号，
则|MN|≥$\frac{3}{4}$，|MN|的最小值为$\frac{3}{4}$．