题目内容
15．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{4-{b}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（0＜b＜2）与x轴交于A、B两点，点C（0，b），则△ABC面积的最大值为（ ）| A． | 1 | B． | 2 | C． | 4 | D． | 8 |
分析 求出A，B的坐标，可得△ABC面积，利用基本不等式求出△ABC面积的最大值．
解答 解：∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{4-{b}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（0＜b＜2）与x轴交于A、B两点，
∴A（-$\sqrt{4-{b}^{2}}$，0），B（$\sqrt{4-{b}^{2}}$，0），
∵点C（0，b），
∴△ABC面积S=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{4-{b}^{2}}$×b=$\sqrt{4-{b}^{2}}$×b=$\sqrt{（4-{b}^{2}）{b}^{2}}$≤$\frac{4-{b}^{2}+{b}^{2}}{2}$=2
当且仅当b=$\sqrt{2}$时取等号，
∴△ABC面积的最大值为2，
故选：B．
点评 不同课程双曲线方程，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，求出三角形的面积是关键．
练习册系列答案
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如图，△ABC的外接圆⊙O半径为$\sqrt{5}$，CD⊥⊙O所在的平面，BE∥CD，CD=4，BC=2，且BE=1，tan∠AEB=2$\sqrt{5}$．
7．已知点F是双曲线$\frac{x{\;}^{2}}{a{\;}^{2}}$-$\frac{y{\;}^{2}}{b{\;}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，以坐标原点O为圆心，OF为半径的圆与该双曲线左支交于点A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
| A． | （1，1+$\sqrt{3}$） | B． | （1，$\sqrt{2}$） | C． | （1，1+$\sqrt{2}$） | D． | （2，1+$\sqrt{2}$） |
如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0）和圆M：（x-4）2+y2=1，过抛物线C上一点H（x0，y0）（y0≥1）作两条直线与圆M相切于A，B两点，圆心M到抛物线准线的距离为$\frac{17}{4}$．