题目内容
如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点，M、N分别是AD、CD1的中点，AD=AA1=a，AB=2a.
(1)求证：MN∥面ADD1A1；
(2)求二面角P—AE—D的正切值.
(3)求三棱锥P—DEN的体积.
(1)证明：取CD的中点K，连结MK、NK.
∵M、N、K分别为AE、CD1、CD的中点，
∴MK∥AD，NK∥DD1.
∴MK∥面ADD1A1，NK∥面ADD1A1.
∴面MNK∥面ADD1A1.
∴MN∥面ADD1A1.
(2)设F为AD的中点.
∵P为A1D1的中点，∴PE∥D1D.
∴PE⊥面ABCD.
作FH⊥AE，交AE于H，连结PH，则由三垂线定理得AE⊥PH.
从而∠PHF为二面角P?AE?D的平面角.
在Rt△AEF中，AF=
，EF=2a，AE=
.
.
在Rt△PFH中，tan∠PHF=
,
故二面角P-AE-D的正切值为
.
(3)S△NEP=
BC·CD1=
.
作DQ⊥CD1，交CD1于Q，由A1D1⊥面CDD1C1.
得A1D1⊥DQ，
∴DQ⊥面BCD1A1，
在Rt△CDD1中，
，
∴VP-DEN=VD-NEP=
S△NEP·DQ
=
练习册系列答案
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.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，四面体A1-ABC的直度为( ) 
B.
C.
D.1
.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，四面体A1-ABC的直度为( ) 
B．
C．
D．1
. 
，AA1 =
，M为侧棱CC1上一点，AM⊥BA1．