Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c （

1

3

≤a≤1）的图象过点A（0，1）且直线2x+y-1=0与y=f（x）图象切于A点．
（1）求b与c的值；
（2）设f（x）在[1，3]上的最大值与最小值分别为M（a）、N（a）、g（x）=M（a）-N（a），若g（a）=2，求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）由f（0）=1，求得c=1，再由“直线2x+y-1=0与y=f（x）图象切于A点”联立

y=-2x+1 y=ax2+bx+1

转化为ax²+（b+2）x=0有等根，求b．
（2）由（1）知f（x）=ax²-2x+1=a（x-

1

a

）²+1-

1

a

，用二次函数法求得其最值，构造g（x），再由g（a）=2，求实数a的值，要注意讨论．

解答：解：（1）f（0）=1c=1（2分）

y=-2x+1 y=ax2+bx+1

ax²+（b+2）x=0有等根（5分）
b=-2（7分）
（2）f（x）=ax²-2x+1=a（x-

1

a

）²+1-

1

a

（8分）

1

3

≤a≤1∴1≤

1

a

≤3恒有N（a）=1-

1

a

（10分）
当1≤

1

a

≤2即

1

2

≤a≤1时M（a）=9a-5
M（a）-N（a）=2a=

4± 7

9

a=

4- 7

9

＜

1

2

（舍去）（12分）
当2＜

1

a

≤3即

1

3

≤a＜

1

2

时M（a）=a-1
M（a）-N（a）=2a=2±

3

＞

1

2

都舍去
综上a=

4+ 7

9

（15分）

点评：本题主要考查二次函数的图象与性质，以及二次方程根的问题，还考查了构造思想，分类讨论思想．