Question

定义在R上的函数f （x）的图象关于点（-

3

4

，0）对称，且满足f （x）=-f （x+

3

2

），f （1）=1，f （0）=-2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2009）的值为

2

．

Answer 1

分析：根据题意可推出f（x）=f（x+3）且f（x）=f（-x），得到f（-1）+f（0）+f（1）=0，看出所给的求函数值的式子
中数字的个数除以3，余数是多少，由此求出结果．

解答：解：定义在R上的函f（x）的图象关于点（ -

3

4

，0）对称，
∴f（x）=-f（-x-

3

2

 ）．
又f（x）=-f（x+

3

2

），∴f（x）=f（x+3）且f（x）=f（-x），
∴f（-1）=f（1）=1，∴f（-1）+f（0）+f（1）=0．
又 2009=669×3+2，
故 f（1）+f（2）+f（3）+…+f （2009 ）=669×0+f（1）+f（2）=f（1）+f（-1）=2，

点评：本题考查函数的奇偶性，对称性、周期性，及求函数值，推出f（x）=f（x+3）且f（x）=f（-x），是解题的关键，属于基础题．