Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）若在区间上恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）切线方程为.

（Ⅱ）当时， 的单调增区间是和，单调减区间是；

当时， 的单调增区间是；

当时，的单调增区间是和，单调减区间是.

（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）切线的斜率，等于在切点的导函数值.

（Ⅱ）通过“求导数，求驻点，讨论各区间导数值的正负”，确定函数的单调区间。本题应特别注意讨论，，时的不同情况.

（Ⅲ）在区间上恒成立，只需在区间的最小值不大于0.

试题解析：（Ⅰ）因为，,

所以, 1分

，, 3分

所以切线方程为. 4分

（Ⅱ）, 5分

由得, 6分

当时，在或时，在时,

所以的单调增区间是和，单调减区间是； 7分

当时，在时，所以的单调增区间是； 8分

当时，在或时，在时.

所以的单调增区间是和，单调减区间是. 10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知在区间上只可能有极小值点，

所以在区间上的最大值在区间的端点处取到， 12分

即有且,

解得. 14分