Question

设函数f(x)=lnx-

1

2

ax2-bx．
（1）若x=1是f（x）的极大值点，求a的取值范围．
（2）当a=0，b=-1时，函数F（x）=f（x）-λx²有唯一零点，求正数λ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=

1

x

-ax-b，由f'（1）=0，得b=1-a．所以f′(x)=

1

x

-ax+a-1=

-(ax+1)(x-1)

x

，由此能求出a的取值范围．
（Ⅱ）因为函数F（x）=f（x）-λx²有唯一零点，即λx²-lnx-x=0有唯一实数解，设g（x）=λx²-lnx-x，则g′(x)=

2λx2-x-1

x

．令g'（x）=0，2λx²-x-1=0．由此进行分类讨论，能求出λ．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=

1

x

-ax-b，由f'（1）=0，得b=1-a．
∴f′(x)=

1

x

-ax+a-1=

-(ax+1)(x-1)

x

．…（2分）
①若a≥0，由f'（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增；
当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．
所以x=1是f（x）的极大值点．…（4分）
②若a＜0，由f'（x）=0，得x=1，或x=-

1

a

．
因为x=1是f（x）的极大值点，所以-

1

a

＞1，解得-1＜a＜0．
综合①②：a的取值范围是a＞-1．…（6分）
（Ⅱ）因为函数F（x）=f（x）-λx²有唯一零点，
即λx²-lnx-x=0有唯一实数解，
设g（x）=λx²-lnx-x，
则g′(x)=

2λx2-x-1

x

．令g'（x）=0，2λx²-x-1=0．
因为λ＞0，所以△=1+8λ＞0，
方程有两异号根设为x₁＜0，x₂＞0．
因为x＞0，所以x₁应舍去．
当x∈（0，x₂）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，x₂）上单调递减；
当x∈（x₂，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）单调递增．
当x=x₂时，g'（x₂）=0，g（x）取最小值g（x₂）．…（9分）
因为g（x）=0有唯一解，所以g（x₂）=0，
则

g(x2)=0 g′(x2)=0

即

λ x 2 2 -lnx2-x2=0 2λ x 2 2 -x2-1=0.

因为λ＞0，所以2lnx₂+x₂-1=0（*）
设函数h（x）=2lnx+x-1，因为当x＞0时，
h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．
因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x₂=1，
代入方程组解得λ=1．…（12分）

点评：本题考查函数的单调性、极值、零点等知识点的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．