Question

已知x满足不等式（log₂x）²+7log₂x+6≤0，求函数f（x）=（log₂4x）•（log₄2x）的值域．

Answer 1

解：由题意知：（log₂x）²+7log₂x+6≤0，解得-6≤log₂x≤-1
∵f（x）=（log₂4x）•（log₄2x）=（log₂⁴+log₂^x）（log₂²+log₂^x）
=，
∴=，
由-6≤log₂x≤-1得：，
∴当log₂x=时，f（x）有最小值是；当log₂x=-6时，f（x）有最大值是10，
∴，
∴f（x）的值域是．
分析：把“对数log₂x”作为一个整体，求不等式（log₂x）²+7log₂x+6≤0的解集，即求出log₂x的范围，利用对数的运算性质和换低公式，化简函数的解析式，再把“对数log₂x”作为一个整体利用配方法进行化简，由log₂x的范围和二次函数的性质，求出函数的值域．
点评：本题考查了求对数型复合函数的值域，把“对数log₂x”作为一个整体，求它的范围，利用对数的运算把函数转化为关于它的二次函数，利用二次函数的性质求函数的值域，考查了整体思想和转化思想．