Question

（2012•临沂一模）已知f(x)=sin(x+

5π

4

)+cos(x+

3π

4

)．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）若f(α)=

2 2

3

，求

sinα

1+tanα

的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为-2sin（x+

π

4

），令 2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，由此求得f（x）的单调增区间．
（2）由f(α)=

2 2

3

，求得sinα+cosα=-

2

3

，平方可得sinαcosα=-

5

18

．代入

sinα

1+tanα

=

sinαcosα

sinα+cosα

，运算求得结果．

解答：解：（1）f(x)=sin(x+

5π

4

)+cos(x+

3π

4

)=-sin（x+

π

4

）-cos（x-

π

4

）
=-

2

2

sinx-

2

2

cosx-

2

2

cosx-

2

2

sinx=-

2

（cosx+sinx）=-2sin（x+

π

4

）．
f（x）的单调递减区间就是函数2sin（x+

π

4

） 的单调增区间．
令 2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得 2kπ-

3π

4

≤x≤2kπ+

π

4

，k∈z，
故函数f（x）的单调递减区间为[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]．
（2）若f(α)=

2 2

3

，则-2sin（α+

π

4

）=

2 2

3

，
解得 sin（α+

π

4

）=

2 (sinα+cosα)

2

=-

2

3

．
∴sinα+cosα=-

2

3

，平方可得sinαcosα=-

5

18

．
∴

sinα

1+tanα

=

sinαcosα

sinα+cosα

=

5

12

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合函数的单调性，属于中档题．