Question

已知函数f（x）=2+log₃x，定义域为[

1

81

，81]，求函数g（x）=[f（x）]²-f（x²）的最值，并指出g（x）取得最值时相应自变量x的取值．

Answer 1

分析：先求函数g（x）=[f（x）]²-f（x²）的定义域，将f（x）=2+log₃x代入y=[f（x）]²+f（x²）中，整理化简为关于log₃x的函数，利用换元法求最值．

解答：解：要使函数有意义，必须

1

81

≤x≤81且

1

81

≤x²≤81，解得

1

9

≤x≤9
又y=（2+log₃x）²-（2+log₃x²）=（log₃x）²+2log₃x+2
令t=log₃x，y=t²+2t+2=（t+1）²+1，由

1

9

≤x≤9得-2≤t≤2，
当t=-1时，即x=

1

3

时，y_min=1，当t=2时，即x=9时，y_max=10，

点评：此题是个中档题．本题考查换元法求函数的值域问题，以及对数函数的单调性与特点，在使用换元法时，注意范围．