题目内容
若函数f（x）=x3-ax（a＞0）的零点都在区间[-10，10]上，则使得方程f（x）=1000有正整数解的实数a的取值个数为（ ）
| A、1 | B、2 | C、3 | D、4 |
分析：由题意根据函数f（x）=x3-ax（a＞0）的零点都在区间[-10，10]上可得a的范围，然后对f（x）进行求导，求出函数在区间[-10，10]上的最大值，然后再进行判断．
解答：解：∵函数f（x）=x3-ax（a＞0）的零点都在区间[-10，10]上，
又f（x）=x3-ax=x（x2-a）=0，令f（x）=0，
∴x=0或x=±
，
函数f（x）=x3-ax（a＞0）的零点都在区间[-10，10]上
∴
≤10∴a≤100
∵f'（x）═3x2-a，令f（x）′=0，
解得x=±
，
∴当x＞
或x＜-
时，f（x）′＞0，为增函数；
当-
＜x＜
时，f（x）′＜0，为减函数；
∴当x=-
时，有极大值，f（-
）=(-
) 3-a×（-
）=
≤
，
∵
＜1000，f（10）=1000-10a＜1000，结合函数的单调性f（x）=x3-ax（a＞0）
知方程f（x）=1000有正整数解在区间[10，+∞）上，此时令x3-ax=1000，可得x2-a=
此时有a=x2-
，由于x为大于10的整数，由上知x2-
≤100，令x=11，12，13时，不等式成立，
当x=14时，有142-
=196-71
＞100
故可得a的值有三个，
应选C．
又f（x）=x3-ax=x（x2-a）=0，令f（x）=0，
∴x=0或x=±
| a |
函数f（x）=x3-ax（a＞0）的零点都在区间[-10，10]上
∴
| a |
∵f'（x）═3x2-a，令f（x）′=0，
解得x=±
|
∴当x＞
|
|
当-
|
|
∴当x=-
|
|
|
|
2a
| ||
3
|
| 2000 | ||
3
|
∵
| 2000 | ||
3
|
知方程f（x）=1000有正整数解在区间[10，+∞）上，此时令x3-ax=1000，可得x2-a=
| 1000 |
| x |
此时有a=x2-
| 1000 |
| x |
| 1000 |
| x |
当x=14时，有142-
| 1000 |
| 14 |
| 6 |
| 14 |
故可得a的值有三个，
应选C．
点评：此题考查函数的零点与方程根的关系，解题的关键是求出f（x）在区间[-10，10]上的值域，是一道好题．
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