Question

（本小题满分12分）设函数

（Ⅰ）当a=0时，在（1,+∞）上恒成立，求实数的取值范围;

（Ⅱ）当=2时，若函数在［1,3］上恰有两个不同零点，求实数的取值范围;

（Ⅲ）是否存在实数，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出的值，若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x，即

记，则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于.------------2分

求得 当时;;当时，

故在x=e处取得极小值，也是最小值，即，故.-------4分

（Ⅱ）函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a

在［1,3］上恰有两个相异实根。令g(x)=x-2lnx,则，

 当时，,当时，

g(x)在[1,2]上是单调递减函数，在上是单调递增函数。--------------------------6分

故 又g(1)=1,g(3)=3-2ln3 

∵g(1)>g(3),∴只需g(2)<a≤g(3),故a的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3]--------------8分

（Ⅲ）存在m=，使得函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性

,函数f(x)的定义域为（0,+∞）。

若，则，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，不合题意;

若,由可得2x²-m>0，解得x>或x<-（舍去）

故时，函数的单调递增区间为(,+∞)单调递减区间为(0, ) ---------10分

而h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0,)，单调递增区间是(，+∞)

故只需=，解之得m=

即当m=时，函数f(x)和函数h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性。----------12分