Question

在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3

3

，2)的入射光线l₁被直线l：y=

3

3

x反射，反射光线l₂交y轴于B点．圆C过点A且与l₁、l₂相切．
（1）求l₂所在的直线的方程和圆C的方程；
（2）设P、Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直线l₁：y=2，设设l₁交l于D，则D（2

3

，2）．由l的倾斜角为30°知反射光线l₂所在的直线方程为

3

x-y-4=0．已知圆C与l₁切于点A，设C（a，b），圆心C在过点D且与l垂直的直线上，知b=-

3

a+8．由此能求出圆C的方程．
（Ⅱ）设点B（0，-4）关于l的对称点B'（x₀，y₀），则，

y0-4

2

=

3

3

•

x0

2

，且

y0+4

x0

=-

3

，得B′(-2

3

，2)．固定点Q可发现，当B'、P、Q共线时，PB+PQ最小，故PB+PQ的最小值为B'C-3．由此能求出 PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．

解答：解：（Ⅰ）直线l₁：y=2，
设l₁交l于D，则D（2

3

，2）．
∵l的倾斜角为30°，
∴l₂的倾斜角为60°，…（2分）
∴k2=

3

，
∴反射光线l₂所在的直线方程为y-2=

3

（x-2

3

）．
即

3

x-y-4=0．…（4分）
已知圆C与l₁切于点A，设C（a，b），
∵圆心C在过点D且与l垂直的直线上，
∴b=-

3

a+8①…（6分）
又圆心C在过点A且与l₁垂直的直线上，
∴a=3

3

②，
由①②得

a=3 3 b=-1

，
圆C的半径r=3．
故所求圆C的方程为(x-3

3

)2+(y+1)2=9．    …（10分）
（Ⅱ）设点B（0，-4）关于l的对称点B'（x₀，y₀），
则，

y0-4

2

=

3

3

•

x0

2

，且

y0+4

x0

=-

3

…（12分）
得B′(-2

3

，2)．
固定点Q可发现，当B'、P、Q共线时，PB+PQ最小，
故PB+PQ的最小值为为B'C-3．               …（14分）

y+1 2+1 = x-3 3 -2 3 -3 3 y= 3 3 x

，
得P(

3

2

，

1

2

)，
最小值B′C-3=2

21

-3． …（16分）

点评：本题主要考查圆标准方程，简单几何性质，直线与圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．