Question

设d为非零实数，an=

1

n

[Cn1d+2Cn2d2+…+(n-1)Cnn-1+nCnmdn](n∈N*)
（Ⅰ）写出a₁，a₂，a₃并判断﹛a_n﹜是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由；
（Ⅱ）设b_n=nda_n（n∈N*），求数列﹛b_n﹜的前n项和S_n．

Answer 1

（Ⅰ）由题意可知：a₁=d，a₂=d（1+d），a₃=d（1+d）²，
当n≥2，k≥1时，

k

n

C

kn

=

C

k-1n-1

，
∴an=

1

n

C

1n

d1+

2

n

C

2n

d2+

3

n

C

3n

 d3+…

n

n

C

nn

dn
=d（C_n-1⁰d⁰+C_n-1¹d¹+C_n-1²d²+…+C_n-1^n-1d^n-1）
=d（d+1）^n-1．
所以，当d≠-1时，{a_n}是以d为首项，d+1为公比的等比数列．
当d=-1时，a₁=-1，a_n=0（n≥2），此时{a_n}不是等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：a_n=d（d+1）^n-1，
∴b_n=nd²（d+1）^n-1=d²n（d+1）^n-1，
∴S_n=d²[1•（d+1）⁰+2•（d+1）¹+3•（d+1）²+…+（n-1）•（d+1）^n-2+n•（d+1）^n-1]，
当d=-1时，S_n=d²=1
当d≠-1时，
（d+1）S_n=d²[1•（d+1）¹+2•（d+1）²+3•（d+1）³+…+（n-1）•（d+1）^n-1+n•（d+1）ⁿ]，
∴-dS_n=d²[1+（d+1）+（d+1）²+（d+1）³+…+（d+1）^n-1-n（d+1）ⁿ]，
∴S_n=（d+1）ⁿ（nd-1）+1．
综上可知：S_n=（d+1）ⁿ（nd-1）+1，n∈N*．