Question

【题目】已知函数（且）

（1）判断并证明的奇偶性；

（2）求使的的取值范围；

（3）若，是否存在实数，使得有三个不同的零点，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）当时，；当时，；（3）.

【解析】

（1）先求函数的定义域，并判断关于原点对称，再利用奇偶性的定义，得到和的关系，从而得到结论．

（2）由对数函数的图象可知，要使，需分和两种境况讨论．

（3）将函数的零点转化为研究函数与函数图象有3个不同的交点，通过函数图象得到.

（1）函数的定义域为关于原点对称，

，

函数是奇函数；

（2），即，

即，

①，等价于，等价于，由定义域知0＞．

故对，当时有．

②对，等价于，等价于．

故对，当时有．

综上可得：当时，；当时，.

（3），

函数有3个不同的零点方程有3个不同的根，

由（1）知所以

所以，

令如图所示：

当时，，

所以当时，函数与函数图象有3个不同的交点，

所以当时，函数有3个不同的零点.