Question

（本题满分16分）
已知．
（1）求函数的图像在处的切线方程；
（2）设实数，求函数在上的最大值.
（3）证明对一切，都有成立．

Answer 1

（1），即
（2）当时，
当时，，
（3）见解析

解：
（1）定义域为      
            又
函数的在处的切线方程为：
，即       ……  4分
（2）令得
当，，单调递减，
当，，单调递增． ……6分
在上的最大值

当时，
当时，， ……10分
(3)问题等价于证明，  ……12分
由(2)可知的最小值是，当且仅当时取得.
设，则，易得，
当且仅当时取到，从而对一切，都有成立． ……16分
思路分析：第一问利用定义域为       
又   函数的在处的切线方程为：
，即
第二问中，令得
当，，单调递减，
当，，单调递增
第三问中，问题等价于证明，  ……12分
由(2)可知的最小值是，当且仅当时取得.
设，则，易得