Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，且DE交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．
(Ⅰ)求证：DE是⊙O的切线；
(Ⅱ)若，求的值。

Answer 1

(Ⅰ)证明：连接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC， ∴OD∥AE， 又AE⊥DE， ∴DE⊥OD， 又OD为半径， ∴DE是⊙O的切线。 (Ⅱ)解：过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAB，cos∠DOH=cos∠CAB=， 设OD=5x，则AB=10x，OH=3x，DH=4x， ∴AH=8x，AD2=80x2， 由△AED∽△ADB，可得AD2=AE·AB=AE·10x， ∴AE=8x， 又由△AEF∽△DOF， 可得AF：DF=AE：OD=， ∴。