Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁≠0，前n项和为S_n，且S₄+a₂=2S₃；等比数列{b_n}满足b₁=a₂，b₂=a₄
（1）若a₁=2，设Cn=

2	log2bn•log2bn+1

，求数列{c_n}的前n项的和T_n；
（2）在（1）的条件下，若有f（n）=log₃T_n，求f（1）+f（2）+…+f（n）的最大值．

Answer 1

分析：（1）、根据题中给出的条件得出a₁与d的关系，进而求得等比数列{bn}的通项公式，便可求得数列Cn的通项公式，即可的出数列{c_n}的前n项的和T_n；
（2）、根据（1）中得出的T_n的通项公式求出f（n）的表达式，进而求得f（1）+f（2）+…+f（n）最大值．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由S₄+a₂=2S₃，得4a₁+6d+a₁+d=6a₁+6d，
∴a₁=d，…（2分）
则a_n=a₁+（n-1）d=na₁，
∴b₁=a₂=2a₁，b₂=a₄=4a₁，
等比数列{b_n}中q=

b2

b1

=2，…（3分）
则b_n=2a₁•2^n-1=2ⁿ•a₁，…（4分）
当a₁=2时，b_n=2ⁿ⁺¹，cn=

2

(n+1)(n+2)

=2(

1

n+1

-

1

n+2

)…（6分）
则T_n=c₁+c₂+…+c_n=2(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

)
=2(

1

2

-

1

n+2

)=

n

n+2•

…（8分）
（2）f(n)=log3Tn=log3

n

n+2•

∴f（1）+f（2）+…+f（n）
=log3

1

3

+log3

2

4

+…+log3

n

n+2

=log3(

1

3

•

2

4

•…•

n

n+2

)=log3

2

(n+1)(n+2)

≤log3

2

(1+1)(1+2)

=-1
即f（1）+f（2）+…+f（n）的最大值为-1．…（12分）

点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质以数列前n项和的求法，考查了学生的计算能力，解题时注意整体思想和转化思想的运用，是各地高考的热点，属于中档题．