Question

已知函数y=f（x）的图象关于点（-1，0）对称，且满足f（x）=-f（x-1）．当x∈（-2，-1）时，f(x)=

1

x+2

，则当x∈（1，2）时，f（x）=

1

x-2

．

Answer 1

分析：首先，由f（x）=-f（x-1）证出：函数f（x）是周期为2的周期函数．再根据当x∈（-2，-1）时函数的解析式，结合函数y=f（x）的图象关于点（-1，0）对称，求出当-1＜x＜0时函数的解析式，最后由此解析式，结合函数的周期为2，可得当x∈（1，2）时f（x）的解析式．

解答：解：∵f（x）=-f（x-1），
∴以x+1代替x，得f（x+1）=-f（x）
再结合f（x）=-f（x-1），可得f（x+1）=-[-f（x-1）]=f（x-1）
即f[（x-1）+2]=f（x-1），由此可得f（x+2）=f（x），函数是周期为2的周期函数
∵函数y=f（x）的图象关于点（-1，0）对称，
∴f（-2-x）+f（x）=0，可得f（x）=-f（-2-x）
设-1＜x＜0，得-2＜-2-x＜-1，则f（-2-x）=

1

(-2-x)+2

=-

1

x

，所以f（x）=-f（-2-x）=

1

x

再设x∈（1，2），则-1＜x-2＜0，f（x-2）=

1

x-2

最后，根据f（x）是周期为2的周期函数，可得f（x）=f（x-2）=

1

x-2

∴当x∈（1，2）时，f（x）=

1

x-2

故答案为：

1

x-2

点评：本题以一个特殊的函数为例，考查了函数的周期性、图象的对称性和函数解析式求法等知识点，属于中档题．