Question

过抛物线y²=4x的焦点F作斜率为1的直线交抛物线于A、B两点（点A在x轴上方），若

AF

=λ

FB

，则λ=

3+2

2

．

Answer 1

分析：设出点A、B的坐标，求出直线AB的方程．将直线AB方程与抛物线方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，求出两根，根据抛物线的定义和向量的线性关系式加以计算，可得答案．

解答：解：抛物线y²=4x的焦点F坐标为（1，0），可得得直线AB的方程为y=x-1，
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），（x₁＞x₂）
直线AB方程与抛物线的方程联解消去y，可得x²-6x+1=0
解之得：x₁=3+2

2

，x₂=3-2

2

，（x₁＞x₂），
∵

AF

=λ

FB

（λ＞0），∴|FA|＞|FB|，并且λ=

|AF|

|FB|

，
由抛物线的定义，可得

|AF|

=x₁+1，

|FB|

=x₂+1，
因此可得λ=

x1+1

x2+1

=

4+2 2

4-2 2

=3+2

2

故答案为：3+2

2

点评：本题给出抛物线的焦点弦斜率为1，求焦点分焦点弦所得的比值．考查直线与抛物线的位置关系、抛物线定义和向量的共线等知识，属于中档题．