Question

已知等差数列{a_n}的前 n 项和为S_n，令bn=

1

Sn

，且a4b4=

2

5

，S₆-S₃=15，T_n=b₁+b₂+…+b_n．
求：①数列{b_n}的通项公式； ②求T_n．

Answer 1

分析：①设出{a_n}的首项a₁，公差d，a4b4=

2

5

，S₆-S₃=15，把这两个等式中的未知数全换成a₁和d，求出a₁和d，也就求出了S_n，可求数列{b_n}的通项公式；
②把数列{b_n}中的每项都裂成两部分，也就是差的形式，各项相加，可消项，最后只留两项，得结果．

解答：解（1）设{a_n}的首项为a₁，公差为d，
则a₄=a₁+3d，S₃=3a₁+3d，S₄=4a₁+6d，S₆=6a₁+15d，b4=

1

4a1+6d

，
∴

a1+3d

4a1+6d

=

2

5

①…（4分）
又（6a₁+15d）-（3a₁+3d）=15②
由①②得a₁=d=1…（6分）
∴Sn=

n(n+1)

2

∴bn=

2

n(n+1)

…（8分）

（2）bn=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)…（10分）

∴Tn=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)=2(1-

1

n+1

)=

2n

n+1

…（12分）

点评：已知数列为等差数列，求通项公式，求首项和公差即可；用裂项法求和时，注意项的形式，分子上是一个常数，分母上可分解成两个关于n的一次式相乘．