Question

设函数，其中
（1）当时，判断函数在定义域上的单调性；
（2）求的极值点；
（3）证明对任意的正整数，不等式都成立。

Answer 1

（1）单调递增（2）无极值（3）见解析

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用
（1）利用函数的导数得到导数符号与单调性的关系的运用。
（2）在第一问的基础上分析得到极值点。
（3）对于不等式恒成立的证明，主要是转化为函数的最值问题来处理的数学思想的运用。
解：（1）由题意知，，），
设，其图象的对称轴为，，
所以
即，上恒成立，
，时，，
，上单调递增。
（2）①由（1）得，函数无极值点；
②时， 有两个相同的解，
，，；，时，，
，上无极值；
③时，：
，      
，，，
：

	，		，
	－	0	+
	减	极小值	增

由此表可知：，有唯一极小值点；
当时，，所以，，
此时，：

	，		（，）		，
	+	0	－	0	+
	增	极大植	减	极小值	增

由此表可知：时，有一个极大值点和一个
极小值点
综上所述，：，有唯一极小值点； 时，有一个极大值点和一个极小值点；，无极值点。
（3）设，1〕，则不等式化为，
即
设函数，则
所以，当时，函数在〔0，1〕上单调递增，又
，1〕时，恒有，即，
因此不等式成立