Question

已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(-3，

3

)．
（1）求sin2α-tanα的值；
（2）若函数f（x）=cos（x-α）cosα-sin（x-α）sinα，求函数y=

3

f(

π

2

-2x)-2f2(x)在区间[0，

2π

3

]上的取值范围．

Answer 1

（1）因为角α终边经过点P(-3，

3

)，所以sinα=

1

2

，cosα=-

3

2

，tanα=-

3

3

∴sin2α-tanα=2sinαcosα-tanα=-

3

2

+

3

3

=-

3

6

…（6分）
（2）∵f（x）=cos（x-α）cosα-sin（x-α）sinα=cosx，x∈R
∴y=

3

cos(

π

2

-2x)-2cos2x=

3

sin2x-1-cos2x=2sin(2x-

π

6

)-1
∵0≤x≤

2π

3

，∴0≤2x≤

4π

3

，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

7π

6

∴-

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1，∴-2≤2sin(2x-

π

6

)-1≤1
故函数y=

3

f(

π

2

-2x)-2f2(x)在区间[0，

2π

3

]上的值域是[-2，1]…（12分）