Question

【题目】已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：
①x＞1时，f（x）＜0；
②f（ ）=1；
③对任意的正实数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）求证：f（ ）=﹣f（x）；
（2）求证：f（x）在定义域内为减函数；
（3）求满足不等式f（log0.5m+3）+f（2log0.5m﹣1）≥﹣2的m集合．

Answer 1

【答案】
（1）证明：令 ， ，得f（1）=0，

令 ， ，得

（2）证明：设x1＞x2＞0，f（x1）﹣f（x2）= = ，

∵x1＞x2，∴ ，∴ ，即f（x1）﹣f（x2）＜0，

∴f（x1）＜f（x）2，

∴f（x）在（0，+∞）上为减函数

（3）解：∵ ，∴ ．

f（log0.5m+3）+f（2log0.5m﹣1）≥﹣2，f（log0.5m+3）+f（2log0.5m﹣1）≥f（4），即f[（log0.5m+3）（2log0.5m﹣1）]≥f（4），

∵f（x）定义域上是减函数（log0.5m+3）（2log0.5m﹣1）≤4，

∴

∴ ，

不等式的解集

【解析】（1）令 ，可求得f（1）=0，再令 ，代入f（xy）=f（x）+f（y），即可证得：f（ ）=﹣f（x）；（2）设x1＞x2＞0，作差整理可得f（x1）﹣f（x2）= ，依题意，可得 ，利用单调减函数的定义可证f（x）在（0，+∞）上为减函数；（3）依题意，不等式f（log0.5m+3）+f（2log0.5m﹣1）≥﹣2可化为f[（log0.5m+3）（2log0.5m﹣1）]≥f（4），再利用（2）f（x）在（0，+∞）上为减函数可得不等式组 ，解之即可．